Nicolas M. Thiéry
Nicolas.Thiery@math.u-psud.fr
http://Nicolas.Thiery.name/
/home/doc/nthiery/Agregation/


Objectifs:

 - Savoir illustrer un enseignement:
   - Présentation d'exemples de tailles plus conséquentes
   - Évacuation des détails des calculs sans intérêt pédagogique
   - Interactivité, gestion du rythme, expérimentation avec la classe
   - Possibilité pour l'élève de refaire les calculs, et d'expérimenter avec

 - Comprendre le fonctionnement général des outils de calcul formel

 - Aborder l'algèbre avec un autre point de vue, plus constructif

 - Apprendre à manipuler de la bibliographie

Moyens:

 - Expérimentation avec les outils

 - Programmation d'algorithmes classiques pour bien les comprendre

 - Étude de textes

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Calcul Formel: Qu'est-ce?

 - Calcul exact (par opposition à calcul numérique):

 >> 1 + 7 / 3


 >> 1.0 + 7 / 3


 >> 100!


 >> float(100!)


 - Calcul algébrique (Computer Algebra):

 >> Q := Dom::Rational:
    Qx := Dom::Fraction(Dom::UnivariatePolynomial(x, Q)):
    F := Dom::AlgebraicExtension(Qx, poly(z^2 - x, [z])):
    P := Dom::UnivariatePolynomial(u, F):


 >> P(u*z)*P(z)


 >> P(u + x*z) * P(u - x*z)


 >> factor(P(u^2 - x^3))


 - Calcul symbolique:

 >> int( 1 + sqrt(x), x=0..t );


 >> subs(%, t=0.3);


 >> sum(1/i^2, i=1..infinity)


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Composants d'un Système de Calcul Formel (Computer Algebra System):

 - Arithmétique: entiers longs, corps finis, ...
 - Polynômes, fractions rationnelles, matrices, ...
 - Sommations, intégration, dérivation, limites symbolique
 - Solveurs (linéaire, polynômiaux, équations différentielles, ...)
 - Lien calcul numérique
 - Bases de données (nombres premiers, groupes classiques, ...)

 - Langage de programmation et structures de données
   (pourquoi programmer?)
 - Gestion de mémoire
 - Interface avec d'autres systèmes

 - Interface utilisateur

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Systèmes généraux: Mathematica, Maple, MuPAD, Macsima, Axiom, ...
Systèmes spécialisés: Magma, GAP, Linbox, Pari, NTL, ...

Avantages Maple:
 - Très répandu
 - Interface bien rodée
 - Beaucoup de contributions, bibliothèque plus avancée

Avantages MuPAD:
 - Langage de programmation beaucoup plus propre
   (programmation orientée objet, ...)
 - Débogueur, ...
 - Bibliothèque bien intégrée et cohérente
 - Assez ouvert, à défaut d'être libre
 - Pas trop cher

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Premiers calculs (à faire sous Maple, MuPAD ou autre!):
 - Tutorial Maple (dans l'aide en ligne)
 - Tutorial MuPAD (/usr/local/MuPAD/share/doc/en/tutorium.pdf)
 - p. 16-17, 31-33 du poly ci-dessous (sans regarder les corrections!)

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Caractéristiques communes:
 - Noyau / Interpréteur / Bibliothèque; 
   >> expose(combinat::multinomial)

   >> debug(partfrac(1 / (1-x^2)))

 - Représentation arborescentes des objets, notion d'opérandes

   a + b * c + d * e * sin(f)^g

   Exercices, /usr/local/MuPAD/share/doc/en/tutorium.pdf p. 55

 - Gestion automatique de la mémoire avec comptage de références
   et / ou glaneur de cellule:

 - Signature => ensembles et tables d'association

   >> liste    := [sin(1+x), 3, sin(1+x)];

   >> ensemble := { sin(1+x), 3, sin(1+x) }

   >> tableAssociative := table( sin(1+x) = 1, 3 = 2 )

   >> tableAssociative[3]

   >> tableAssociative[sin(1+x)]


 - Typage dynamique (types sur les objets)

   >> var := 1: domtype(1)

   >> var := "bla": domtype(var)

   >> domtype(a + b * c + d * e * sin(f)^g)

   >> mat := matrix([[1,2],[3,4]]);

   >> domtype(mat), mat::dom

   >> expose(mat::dom::_negate)

 - Sémantique de copie

   >> l1 := [1, 2, 3];

   >> l2 := subs(l, 1=2);

   >> l1

 - Programmation impérative et fonctionnelle


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Quelques références:

 - Maple: http://www.maplesoft.com/

 - MuPAD: http://www.mupad.com/

 - Tutorial MuPAD:
   Bouquin (traduit en français!)
   Sur place: /usr/local/MuPAD/share/doc/en/tutorium.pdf
   Sur le web: http://research.mupad.de/doc/31/eng/index.html

 - Tutorial Maple:
   Help -> Introduction -> Getting Started

 - Utilisation du système de calcul formel libre XCAS pour l'agreg:
   http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/agreg.html

 - Shoup: A Computational Introduction to Number Theory and Algebra
   http://shoup.net/ntb/

 - Poly d'introduction à la programmation scientifique avec MuPAD:
   http://www-lih.univ-lehavre.fr/~olivier/Enseignement/l1/cours/MuPAD/support/Programmation_scientifique_polyp.pdf